一文带你了解滤波器

在振动噪声信号测量过程中，总是会遭遇或大或小的干扰信号，如50Hz工频干扰、毛刺、直流偏置、零漂等，因此，我们希望弱化，甚至是移除信号中这些不想要的成分；另一方面，在一些信号处理应用中，如噪声A计权和人体振动计权中，我们又要增强信号中的某些频率成分，如A计权会增强1~5kHz的频率成分。因而，在这些应用场景中，滤波器是一个不可或缺的工具。为各种用途设计合适的滤波器是信号处理领域很重要的一部分，这其中需要对信号处理的许多方面进行深入了解才能正确设计。在本文中，我们不讨论滤波器的设计，仅从应用层面来讨论它的一些基本概念与应用注意事项等。

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滤波器的功能作用

在振动噪声测量中，滤波器主要用于改变时域信号的频率成分，如衰减或放大某些频率成分，或从有用信号中分离出（移除）不想要的信号成分。成功分离出有用信号和干扰信号的先决条件是两个信号的频率范围不同。虽然大多数滤波器工作在时域（对时域信号滤波），但在频域展示滤波器特性更直观。以下是几种常见滤波器的典型应用场景：

模数转换前抑制混叠（抗混叠）；
在测量信号中，对传感器固有频率的抑制；
移除不想要的信号成分（如噪声，电磁干扰等，图1a）；
消除测量信号的零漂（图1b）；
移除信号中的毛刺（图2）；
突出某些频率成分（如A计权、人体振动计权）等。

图1 对测试数据进行滤波。(a)低通滤波（LP）消除高频成分，(b)高通滤波（HP）抑制偏置和低频成分

图2 移除信号中的毛刺：滤波前（上）和滤波后（下）

一个信号有三个基本要素：幅值、频率成分和相位。当改变信号三要素中任一个或多个要素时，都可以认为是进行了滤波操作，因此，窗函数也可以认为是一个滤波器。

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滤波器的类型

根据不同的定义，滤波器有不同的分类。根据被滤波的信号类型不同，可以分为模拟滤波器和数字滤波器。模拟滤波器根据实现方式分为无源滤波器和有源滤波器。无源滤波器也称为被动型滤波器；有源滤波器也称为主动型滤波器。根据算法的不同，数字滤波器分为IIR（无限脉冲响应）和FIR（有限脉冲响应）滤波器。

滤波器依据频率对输入信号进行放大或衰减或移除，并在信号传播一段时间后输出，用传递函数（滤波器特性）来描述滤波器的传递行为。根据幅频响应的不同，滤波器分为以下的功能类型（图3）：

低通：允许低频成分通过，高频成分被阻隔（如抑制传感器的固有频率）；
高通：允许高频成分通过，低频成分包括直流分量被阻隔（如抑制零漂）；
带通：允许某一特定频带的信号通过（通带），其他所有频带成分都被阻隔（如窄带分析）；
带阻：特定频带被阻隔（抑制范围），所有其他频率成分被允许通过（如抑制50Hz市电成分）。
直通：所有频率成分都通过，但有一个依赖于频率的时间延迟。

这些功能的滤波器可以是模拟滤波器，也可以是数字滤波器；也可以是FIR滤波器或IIR滤波器。

图3 滤波器的幅频响应：低通(左上)、高通(右上)、带通(左下)、带阻(右下)

从用户的角度来看，滤波器的特性及其对信号处理的影响，以低通滤波器为例，根据其算法进行描述：

巴特沃斯滤波器
贝塞尔滤波器
切比雪夫滤波器（切比雪夫I型滤波器）

这些滤波器可类似地应用于高通滤波器。这些滤波器可以构造为时间连续信号的模拟滤波器，也可以构造为时间离散信号的数字滤波器。这里不讨论技术实现、数字滤波器设计和其他滤波器类型，如高斯滤波器和考尔滤波器（椭圆滤波器）。

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滤波器特性

一个滤波器通过它的频响函数来描述，这个频响也经常称为滤波器特性，包括幅频响应和相频响应两部分。经常，我们希望用一个滤波特性理想的滤波器来对信号进行滤波操作，但是，由于物理限制，不得不在计算效率与滤波特性之间作出一些妥协。对于常用的低通、高通、带通和带阻滤波器，其理想滤波特性如图4所示。图4所示的理想滤波器物理上无法实现。对于数字滤波器而言，可以无限接近理想的滤波特性，但有两个代价，即计算成本和时间延迟。

图4 理想的滤波器特性：低通“LP”，高通“HP”，带通“BP”和带阻“BT”

幅频响应（增益）

幅频响应以双对数标尺绘制。放大（或衰减，以dB为单位）根据对数频率绘制（必要时归一化频率）。在幅频响应中，通带、阻带和过渡带（图5）有质的区别：

通带（Pass Band）：通带中的数据直接传送给输出，作为输出的时间历程。为了确保通带中的数据与原始时间历程数据相同，滤波器中应该没有纹波（ripple）。纹波会导致幅值随频率的轻微变化。理想情况下，在这个频带内，滤波器的增益应为0dB（即输出=输入，不改变信号的频率成分）。
过渡带（Transition Band）：根据应用（阶数、算法等）的不同，在通带和阻带之间的过渡带的频率宽度应尽可能窄。算法和滤波器阶数都决定了通带和阻带之间过渡的快慢。理想情况下，过渡带内的斜率尽可能陡（大幅衰减这些频率成分的幅值），从通带到阻带的拐弯尽可能急剧变化。
阻带（Stop Band）：如果阻带有波纹，阻带也可能包含数据。在某些应用中，由于波纹导致的幅值可能很小，可能无关紧要。但在其他一些应用中，阻带的波纹可能不可接受。理想情况下，阻带的增益应为负无穷大（即输出=0），能完全移除这些频率成分。

图5 以低通滤波器的幅频为例说明通带、阻带和过渡带

在过渡带，为了描述其衰减，通常按衰减量以dB/10倍频（dB/dec）或dB/倍频程（dB/otc）表示过渡带的衰减斜率。对于低通和高通滤波器，衰减量为每个滤波器阶数增加20dB/dec或6dB/oct。因此，滤波器可以用过渡带衰减量和滤波器阶数来表征。在从通带到过渡带的拐弯处，增量额外由滤波器类型决定，并且偏离渐近线。

截止频率f_c是衰减3dB对应的频率。这个定义没有约束力，但是经常这样定义。在截止频率f_c处，由于技术上的实现，滤波器不具有无限大的边缘陡度，约为输入信号的70%幅值在输出端仍然是可测量的（-3dB）。以低通滤波器为例，-3dB频率定义的截止频率为

在测量应用中，这意味着描述了一个误差，这个误差在截止频率处近似为30%，是一个相当大的误差。如果我们想要估计正弦信号的均方根值（RMS），就必须仔细评估滤波器截止频率的影响。

滤波器的阶数直接决定了过渡带的衰减斜率，阶数越高，过渡带的衰减斜率越陡峭。另一方面，阶数越高，计算时间越长，导致计算效率低下，同时也使得时间延迟更长。图6显示了IIR巴特沃斯滤波器在相同截止频率、不同阶数下的过渡带衰减斜率。可以看出，滤波器阶数越高，斜率越大，阻带内的衰减越快。为了分离出频率范围，可尝试使用尽可能高阶的滤波器，但是高阶滤波器的计算效率会降低，同时，时间延迟会增加。因此，选择合适的阶数，需要在这些方面做出权衡。

图6 不同阶数的IIR巴特沃斯滤波器的幅频响应

除了滤波器阶数外，滤波器类型也起作用。将巴特沃斯滤波器与贝塞尔滤波器和切比雪夫滤波器在4阶滤波器（斜率相同）和截止频率相同的情况下进行比较（图7）。对于阻带内的频率，贝塞尔滤波器的阻带衰减较慢，切比雪夫滤波器的阻带衰减较巴特沃斯滤波器快。然而，切比雪夫滤波器在通带中表现出纹波（特别是在截止频率区域），即输出信号在通带中也作为频率的函数被放大或衰减。

图7 4阶巴特沃斯、贝塞尔和切比雪夫滤波器的幅频响应

相频响应和群延迟

如果经滤波器输出的信号与输入之间同相位（相位差为0），那么，滤波器不存在时间延迟。但实际上，一个时域信号经滤波器后的输出，与原始时域信号相比，总存在或大或小的时间延迟，时间延迟（时移）会引起相位移动（相移），如图8所示。图中上部给出了滤波前（红色）的原始时域噪声信号（输入）和滤波后（绿色）的时域信号（输出），对比两个最大幅值位置，可以看出存在明显的时间差（时间延迟），这样滤波后的信号将不再与同步采集的振动信号在时间轴上对齐。可能在一些应用场景中，这个时间延迟无关紧要。但在另外一些应用中，这个时间延迟却至关重要，例如：

故障排查：对于多通道同步采集的噪声和振动数据，如果仅对噪声数据进行滤波，则会导致滤波后的噪声数据相对于振动数据有时间延迟（见图8）。当试图弄清楚振动事件是否产生了噪声时，这种时间延迟将使我们很难看出振动和噪声事件是否相关。
ODS分析：如果在工作变形分析（ODS）中，仅对部分振动通道应用了滤波器，而其他的没有，这将导致这些通道之间的相位关系被改变。因而，ODS动画将不正确，影响工程决策。

图8 滤波前后的信号存在明显的时间延迟

由于输出与输入信号之间存在相位差，因而，滤波器的相频响应也是滤波器特性之一。滤波器的相频响应描述了相位角φ的频率依赖性。在这里，相位角φ在对数频率轴f（或角频率ω）上绘制线性幅值（以度或弧度为单位）。滤波器会引起输入和输出信号之间的相位变化。以低通滤波器为例，在截止频率处相移为90°。当滤波器阶数较高时，接近截止频率时发生180°的相位跳变。相位跳变的原因是arctan函数只在-180°到+180°范围内有解。相移也发生在滤波器的阻带中。然而，由于该频率范围内的阻带衰减较大，因此该频率范围内的相移没有实际意义。

以巴特沃斯低通滤波器为例（图9a），所有三个滤波器的相频响应都显示出频率相关的相移。随着滤波器阶数的增加，越接近截止频率，相移增大。如果将不同类型的滤波器以相同的滤波器阶数与巴特沃斯滤波器进行比较，则贝塞尔滤波器的相移较小，切比雪夫滤波器的相移较大（图9b）。

图9 2、4和6阶巴特沃斯低通滤波器的相频响应(a)；比较4阶低通巴特沃斯、贝塞尔和切比雪夫滤波器的相频响应(b)

理想情况下，所有信号频率的相移量应该是相同的（FIR滤波器满足这个条件）。如果不满足这个条件，则各个信号分量根据其频率经历不同的相移，或者说相移量是频率的函数。这被描述为群延迟。相位在角频率上的负增长称为群延迟，它描述了正弦信号在滤波器中的传播时间：

与频率无关的群延迟意味着信号在滤波器中延迟的时间相同，与频率无关。与相移相比，从群延迟中无法获得定性的描述。然而，群延迟的说明规范往往比相位角更具描述性。群延迟的频率依赖性意味着信号分量以不同的速度通过滤波器。与输入信号相比，这会导致输出信号失真。

随着滤波器阶数的增加，通带内的群延迟（图10）会变大。所考虑的巴特沃斯低通滤波器的最大群延迟发生在截止频率附近。滤波器阶数越高，最大群延迟值越明显。因此，滤波器的阶数会影响输出信号的时间延迟。所有类型的滤波器都会产生时间延迟，无论是模拟滤波器还是数字滤波器。依赖于滤波器特性，时间延迟或长或短，它们也随频率成分变化。

图10 2、4和6阶巴特沃斯低通滤波器的群延迟

输入信号经滤波器滤波后输出，这种方式，我们称为直接滤波。直接滤波总是会产生时间延迟，为了消除滤波器输出信号中时间延迟，可以通过时间轴向前和向后滤波数据来实现。在对输入信号滤波后，创建新的输出信号，新输出信号中的数据点按时间顺序反向再次输入数字滤波器中，消除时间延迟。这被称为零相位滤波。如图11所示，对比原始信号（红色）、直接滤波后的时域信号（绿色）和零相位滤波信号（蓝色）可以看出，零相位滤波信号与原始信号时间上是对齐的，不存在时间延迟，但直接滤波的信号存在时间延迟。但在零相位滤波信号的末端，由于没有更多的数据用于滤波，这会导致在数据末端出现数据丢失。

图11 对比直接滤波与零相位滤波的结果

虽然零相位滤波器的输出在时间轴上与原始输入信号对齐，但是由于数据被滤波两次，因此，衰减将加倍。故，使用零相位滤波器时有一些权衡：

计算需要两倍的时间来执行。
只有数字化的数据易于实现，模拟信号难以执行。
滤波后，在时域波形的末端会出现数据丢失。

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滤波器的瞬态响应

传递函数描述稳态下的传递行为是所有瞬态过程衰减之后，记录时域的动态过程，例如，对阶跃函数的阶跃响应。滤波器输入的阶跃函数是输入信号在t=0时从0到1的阶跃，可以可视化为方波信号的上升沿或被测信号的开启。阶跃响应是滤波后的信号作为系统对输入信号的响应。如果群延迟是频率相关的，则阶跃函数的信号分量以不同的速度通过滤波器。在阶跃响应中，输出端的方波边缘会出现畸变。

上升时间，瞬态时间和延迟时间

上升时间T_A被理解为，滤波器对输入从0无限快速跳变到1（矩形信号的上升沿）的响应的时间跨度。上升时间有几种定义，除了拐点处的切线外，还使用10%和90%幅值对应的时间差来定义。在上升之后，可能会出现阶跃响应的过冲（overshoot），随后是衰减振荡。直到过冲消退并达到稳态终值的时间称为瞬态时间。稳定时间取决于上升时间和幅值公差带（通常定义为±5%）的定义。稳定时间是上升时间的2.2~3倍。

截止频率f_c与上升时间T_A的关系近似如下

结果表明，滤波器的阶数和类型对上升时间有影响。对于AC耦合高通滤波器，如果截止频率为0.5Hz，则上升时间非常显著：上升时间为2秒。作为一个粗略的经验法则，到过冲衰减，稳定时间应该考虑3倍的上升时间。在放大器的输入电路中，AC耦合高通滤波器常用于从直流电路中分离出测量信号。然而，这种电流隔离可能导致更长的稳定时间，例如，在用一个A/D转换器采集多个模拟信号的多路复用中（早期多采用这种方式，现今普遍一个通道对应一个A/D转换器）。

2阶、4阶和6阶巴特沃斯低通滤波器对阶跃函数的响应如图12a所示。在这个例中，截止频率f_c=100Hz，响应的上升时间T_A=0.01s，使用3倍因子，稳定时间为0.03s。阶跃响应相对于作为输入的阶跃函数在时间轴上有移动（时间延迟）。过冲消退时间和瞬态时间随滤波器阶数的增加而增加（见图12a）。滤波器也会改变阶跃函数的幅值。阶跃函数在输入处的值是1不代表滤波器在输出端响应也为1，因为在瞬态时间内会出现过冲。随着滤波器阶数的增加，过冲的峰值也增加。必须强调一点，这些过冲是滤波器对阶跃函数的响应。相反，传输一个正弦信号，滤波器不存在过冲。

图12 2、4、6阶巴特沃斯低通滤波器的阶跃响应(a)，4阶巴特沃斯、贝塞尔和切比切夫低通滤波器的阶跃响应(b)

在图12b中，对比了4阶巴特沃斯滤、贝塞尔和切比雪夫滤波器，贝塞尔滤波器的过冲最小，切比雪夫滤波器的过冲最大。切比雪夫滤波器稳态后增益幅值小于1。与巴特沃斯滤波器相比，贝塞尔滤波器的上升时间较长，切比雪夫滤波器的上升时间较短。

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频带滤波器的相关定义

对于带通、带阻和陷波滤波器而言，需要定义特定的频带，允许（带通）或阻隔（带阻）或大幅衰减（陷波）这个频带内的信号，这些需要定义特定频带的滤波器统称为频带滤波器（Band Filter）。

对于频带滤波器，下截止频率f_l和上截止频率f_u参考滤波器的中心频率f_m。绝对带宽B定义如下：

中心频率为两截止频率的均方根：

由此可以计算出相对带宽Δf_rel：

滤波器品质Q定义为相对带宽Δf_rel的倒数：

如果改变带通滤波器的中心频率，必须区分两种类型的滤波器：

恒定绝对带宽滤波器（B=常数）：随着中心频率的增加，相对带宽Δf_rel随1/f_m减小。
恒定相对带宽滤波器（Δf_rel=常数）：对于这类滤波器，绝对带宽B与中心频率f_m成比例增加。这类滤波器的典型例子是倍频程滤波器，其上截止频率f_u和下截止频率f_l的比例为2:1，而1/3倍频程滤波器是。

带通滤波器的上截止频率和下截止频率通常（但不是统一地）指定为3dB带宽，在该带宽处，传递幅值比中心频率处或相对于平均传递幅值小3dB。作为这种方法的替代方法，利用有效噪声带宽将滤波器与具有相同中心频率和无限陡峭边缘的理想滤波器进行了比较。对于白噪声激励（恒功率谱密度），设置上截止频率和下截止频率，使实际滤波器和理想滤波器的总传输功率一致。对于低阶的滤波器，3dB带宽和有效噪声带宽可能不同。图13显示了带通滤波器低频f_l=10Hz和高频f_u=1000Hz，-3dB带宽的幅频响应。传递范围内60dB/dec的斜率对应于高通和低通的3阶滤波器。

图13 带通滤波器的幅频响应

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模拟滤波器

在数字信号处理普及之前，普遍使用模拟滤波器，因此，目前许多仍在使用的滤波理论均来自于模拟滤波器时代。故，有必要对一些常见的模拟滤波器特性进行简要的介绍。模拟滤波器亦通过它的增益和相位来描述，其实就是滤波器频响的幅频响应和相频响应。

最简单的模拟滤波器是1阶滤波器，对于一个低通滤波器而言，它有如下的滤波特性

式中，ω_c是滤波器的截止频率。一阶低通滤波器在电子器件中很常见，尽管在振动设备中，一阶高通滤波器可能更常见，但它包括在许多传感器和信号调节单元中。

1阶高通滤波器的特性为

它的幅频响应（增益）为

最常见的通用滤波器是巴特沃斯滤波器，对于巴特沃斯低通滤波器而言，它的滤波增益为

式中，整数n称为滤波器阶数。前面讲过，滤波器的阶数决定了滤波器过渡带的渐近斜率，同时也会影响其他方面，如时间延迟、瞬态响应等。当n=1时，巴特沃斯1阶低通滤波器与前面最简单的1阶低通滤波器相同。巴特沃斯滤波器是一个有用的滤波器，是因为它具有最大的平坦增益特性和相对线性的相位特性。因此，在许多应用中经常使用它，例如，在已标准化的倍频程和1/3倍频程滤波中，使用的是3阶巴特沃斯滤波器。

设计模拟滤波器需要有特定的硬件，如常见的电阻、电容、电感、集成运算放大器等元器件。在模拟电路中，元器件或主动或被动地改变信号，根据这一特性，模拟滤波器分为被动和主动滤波器。被动型滤波器也称为无源滤波器，由被动元器件（电阻、电容、电感等）组成；主动型滤波器也称为有源滤波器，包含集成运算放大器等主动元器件，支持增益控制和高阶滤波等功能。

模拟滤波器是对模拟信号进行滤波的滤波器，在早期，较普遍，而在数字时代，数字滤波器更为普遍。但在特定的应用场合仍然使用模拟滤波器，如信号测量过程中的AC耦合高通滤波器和抗混叠滤波器均是模拟滤波器。

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数字滤波器

在分析振动噪声数据时经常使用数字滤波器，例如，在进行频域分析或声学倍频程和1/3倍频程滤波分析，人体振动计权（舒适性）或冲击响应谱分析之前，通过滤波减少信号的带宽。数字滤波器及其设计在数字信号处理领域中是一门独立的学科，因此，在这里，我们将只从用户应用的角度来描述一些简单的方面，使你对数字滤波器有一个基本的了解。

数字滤波器输入x_n与输出y_n之间的一般定义如下：

式中，滤波器系数a_l和b_k定义了滤波器的特性。如果N_a为零，即滤波器仅使用之前的输入来计算输出（没有上式中的第二项），则该滤波器称为有限脉冲响应（FIR）滤波器，因为它的FIR长度为N_b+1（滤波器的阶数或系数项）。另一方面，如果滤波器中有非零系数a_l，则称为无限脉冲响应（IIR）滤波器。IIR滤波器阶数由N_b+1和N_a决定。IIR滤波器计算当前输出除了使用输入计算输出之外，还要使用之前的输出计算当前的输出，这使得IIR滤波器具有递归特性，因此，有时IIR滤波器也称为递归滤波器。两类数字滤波器名称中均有“脉冲响应”一词，是指滤波器频响在时域中的外形像脉冲，因为通常滤波器有宽带的频率响应，这在时域上对应短时脉冲，如图14所示。

图14 低通数字滤波器在频域（左）和时域（右）中的形状

IIR滤波器的优点在于，对于与FIR相似的滤波器过渡带衰减斜率，可以使用较低阶或较少数量的系数项，即可以实现更强大的滤波器特性。这意味着需要更少的计算来实现相同的结果，使IIR的计算速度更快。然而，IIR具有非线性相位和稳定性问题。这有点像龟兔赛跑的寓言。FIR滤波器就像赛跑中的乌龟——缓慢而稳定，总能跑完全程。兔子就像IIR过滤器——非常快，但有时会崩溃，无法完成比赛。虽然IIR滤波器通常比FIR滤波器更具时间效率，可能是首选的数字滤波器。然而，在某些特殊情况下，首选FIR滤波器，特别是需要线性相位特性时，这一点将在下面讨论。

由前面的公式知道，对于FIR滤波器而言，数字N_b越大，滤波器的阶数越高。换句话说，公式中包含的系数项越多，例如，如果滤波器中有10项，而不是5项，那么，滤波器计算将花费两倍的时间。另一方面，包含越多的系数项（阶数），滤波器的过渡带衰减斜率越陡峭，计算必然要花费更长的时间，这也对时间延迟有影响。

如图15所示，对于相同的阶数，FIR滤波器和IIR滤波器的过渡带衰减斜率有很大的不同。由于IIR滤波器的递归特性，其中部分滤波器输出用作输入，使得在相同阶数的情况下，IIR滤波器可以实现更陡峭的衰减。相反，可以在IIR滤波器中使用更少的系数项来实现与FIR滤波器相近的滤波性能，如图16所示，用10阶IIR滤波器实现40阶FIR滤波器性能。从计算的角度来看，这使得IIR滤波器比FIR滤波器计算更快。如果一个滤波器必须实时应用（例如在听音时进行交互滤波），则通常使用IIR滤波器。然后，IIR滤波器也有一些自身的缺点：

延迟：IIR滤波器在不同频率处延迟不同，而FIR滤波器在每个频率处具有一致的延迟。
稳定性：由于其结构，IIR滤波器有时可能不稳定，无法计算或应用于数据。FIR滤波器始终稳定。

图15 相同阶数下，IIR滤波器比FIR滤波器具有更陡峭的衰减斜率

图16 更低阶的IIR滤波器可实现与FIR滤波器相似的特性

通常，我们希望设计一个具有与特定模拟滤波器特性等效的数字滤波器，因为大多数滤波器理论都是在模拟时代发展起来的。然而，这样精确的等效是不存在的，因此数字滤波器学科在很大程度上涉及如何使数字滤波器在某些方面最接近模拟滤波器的特性。在这里，涉及一些用户必须清楚的关于数字滤波器性能的基本事实。

重要的是要知道，越接近奈奎斯特频率，数字滤波器近似模拟滤波器的性能越来越差。因此，如果滤波器的特性是在模拟信号的频域定义的，如倍频程滤波器和人体振动计权滤波器，那么，在滤波信号之前应该使用足够高的过采样率。例如，在欧标IEC 61260(1995)和美标ANSI S1.11(2004)的倍频程滤波器标准中，建议最小过采样率为最高中心频率的5倍。一般情况下，在对数据进行数字滤波时，建议至少使用10倍过采样。

滤波器的一个重要问题是时间延迟。对于FIR滤波器而言，只计算输入信号，但是在滤波器工作之前，来自输入信号的许多时间数据样本必须通过与滤波项数(N_b)成比例的滤波器。直到通过滤波器的样本点数(n)大于N_{b，滤滤后才开始计算第n个输出数据。由于某些数据必须通过滤波器后才能计算输出，因此与输入时间相比，会在输出中产生时间延迟。并且滤波器阶数越高，延迟更久。FIR和IIR滤波器的延迟特性非常不同，如图17所示，FIR滤波器在所有频率处有相同的时间延迟，而IIR滤波器的时间延迟随频率变化。}

图17 IIR和FIR滤波器的幅频（上）和时间延迟（下）

大多数数字滤波器会延迟信号，通常延迟一些数量的样本点（采样点），有时是整数个样本点，有时是分数个样本点。使用群延迟来描述滤波器的延迟。大多数情况下，群延迟是一个频率相关的数。对于数据分析，这种用整数个样本点来衡量滤波器的时间延迟方式有时是必要的，或者至少是方便的，这样滤波器输出的数据仍然与输入数据是同步采样的。

除了时间延迟之外，理解滤波器的瞬态响应也非常重要。从前面的公式可以看出，在最简单的情况下，使用FIR滤波器，在输入投送给滤波器之前，已采集N_b个样本点，以便使用所有N_b个样本点长度来计算输出。滤波器瞬态可以比这个长度长几倍。然而，就像物理系统一样，滤波器的阻尼越小，瞬态效应持续的时间越长。对于本文介绍的滤波器类型，阻尼高，瞬态效应不受阻尼的干扰。

与滤波器有关的一个重要概念是相位失真。滤波器的相位特性应该是什么样子，为了使某个信号的不同频率具有相同的相对相位通过滤波器，那么，相位应该与频率成线性关系。当然，所有频率的零相位特性也是一个解决方案，但不幸的是，如果滤波器具有非恒定增益特性的话，这是不可能实现的。

产生线性相位滤波器的最简单方法是设计具有对称系数的滤波器。对于线性相位滤波器，群延迟是恒定的，对于最常见的线性相位滤波器，具有长度为2N+1的对称系数的FIR滤波器，时间延时总是N。

前面，我们已经提到过采样因子通常至少需要5-10倍。然而，过采样因子不宜太高，因为过高的采样率会产生更繁琐的滤波器（更多的滤波系数）和潜在的数字截断问题。

产生线性相位特性的一个有用的技巧，即使对于IIR滤波器，也可以通过首先在正向（时间方向）滤波数据，然后在时间上反向运行滤波器来实现。在使用这种方法时，必须考虑滤波器的缩放。

在所谓的级联耦合中使用串联几个滤波器是相当常见的，这意味着一个滤波器接着另一个滤波器，实际上意味着我们首先用一个滤波器对数据进行滤波，然后将该输出用作下一个滤波器的输入。由于多项式乘法等价于两个多项式的卷积，分别对每个滤波器的分子和分母的滤波器系数进行卷积，产生总的数字滤波器参数。

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滤波器选择

在振动测量中，滤波器的设计通常不被重视。在任何情况下，通常用户只有内置的具有指定阶数和截止频率的标准滤波器可用，特别是模拟滤波器，用户很难改变其特性。在这里，任务通常被简化为为测量任务设置一个合适的滤波器，并评估其对测量结果的影响。相对而言，数字滤波器可设置的选项更多，包括算法类型、功能类型、截止频率、阶数等参数。

对于FIR与IIR滤波器，其对比特性如表1所示。因此，在实时滤波处理过程中，首选IIR滤波器，而希望线性相位时，应使用FIR滤波器。

表1 FIR与IIR滤波器比较

	IIR	FIR
计算速度	低阶快	高阶慢
相位/延迟	随频率变化	恒定
稳定性	有时	总是

对于常用的滤波器类型（巴特沃斯，贝塞尔，切比雪夫I型），其性质总结如表2所示。

表2 常用的滤波器类型比较

特征	巴特沃斯	贝塞尔	切比雪夫I型
通带幅频响应	增益下降小（平坦）	增益急剧下降	起伏变化（波纹效应）
过渡带幅频响应	急拐弯	平坦过渡	非常急拐弯
过渡带宽度	宽	非常宽	窄
通带相频响应	不成比例	几乎按比例	不成比例
通带群延迟	不恒定	几乎恒定	不恒定
阶跃响应	上升时间短有过冲瞬态时间长	上升时间长没有过冲无瞬态过程	上升时间非常短过冲明显瞬态时间长

对于大多数应用，巴特沃斯滤波器是最好的折衷方案，特别是在对阻带衰减和相位响应没有高要求的情况下。由于巴特沃斯滤波器也很容易实现和廉价，它们通常内置作为抗混叠滤波器。如果信号要在时域内进一步处理或评估，并且特别重视无失真信号传输，则贝塞尔滤波器是一种替代方案。切比雪夫滤波器则在过渡区域内的高斜率很重要的情况下使用。

滤波器的截止频率应尽可能远离传输信号。随着截止频率的接近，增益下降，信号失真增大。这个过程的先决条件是在传输信号和干扰信号之间有足够大的频率间隔。

对于低截止频率（高通滤波器）或窄带宽（带通滤波器），较长的稳定时间特别令人不安。在稳态信号的情况下，可以通过稳定后测量平稳状态来弥补这种情况。

对于滤波器在多通道测量中的实际应用，有必要用相同的滤波器类型、相同的阶数和相同的截止频率对所有通道进行滤波。这样，所有通道都以同样的方式经历幅值和相移的影响。这允许对通道进行相对评估。

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常见的几个特殊滤类型波器

在振动噪声测量中，除了前面讲述的常规使用的低通、高通、带通和带阻滤波器之外，还有几个特殊滤波器：抗混叠滤波器、AC耦合滤波器、倍频程滤波器和频率计权滤波器等。

抗混叠滤波器

在信号采样过程中，如果信号中没有高于奈奎斯特频率的频率成分，则信号不存在混叠。但是，如果传感器输出的信号中含有比奈奎斯特频率还高的频率成分，ADC同样会按所选采样频率加以采样，使高于奈奎斯特频率的频率成分混入分析带宽之内。故在采样前，应把高于奈奎斯特频率成分以上的频率滤掉，这通过抗混叠滤波器来实现。抗混叠滤波器是一个低通模拟滤波器：低于奈奎斯特频率的频率通过，移除高于奈奎斯特频率的频率成分，这是理想的滤波器。

实际情况是任何滤波器都不是理想的滤波器，抗混叠滤波器也不例外。滤波器的过渡带存在衰减斜率，在滤波截止频率（奈奎斯特频率）以上的一些区域还存在混叠的可能性，这个区域对应带宽的80%以上部分，也就是带宽的80%-100%区域。如图18所示，高于奈奎斯特频率以上的频率成分会关于奈奎斯特频率镜像到带宽的80%-100%区域，形成混叠，而带宽80%以内的区域，是无混叠的。

图18 抗混叠滤波器特性

当然了，如果信号中没有高于奈奎斯特频率的成分存在，则整个带宽都不存在混叠。当信号还有高于奈奎斯特频率有成分存在时，按采样定理设置采样频率时，带宽的80%以上频带则存在混叠，如图19红框区域即遭受了频率混叠的影响。由于带宽以上还有信号存在，因此，这些频率关于带宽镜像到了带宽以内。

图19 带宽的80%以上区域还可能存在混叠

因此，即使使用抗混叠滤波器，在带宽的80%以上的频率区间还可能存在混叠，如要整个频带都无混叠，则采样频率至少高于信号频率的2.5倍以上。

AC耦合滤波器

在信号测试设置中，输入模式或耦合方式可以选择电压DC，电压AC、ICP或其他方式，如图20所示。

图20 测量通道设置中的耦合方式

在选择输入模式时，选择不同的耦合方式会影响到数据中的频率成分。大多数信号都有AC成分和DC成分，DC成分是0Hz的部分，对应时域信号中的直流分量（或称为直流偏置），AC成分是信号中的交变部分，包含信号中所有的非零频率成分。AC耦合只允许信号中的交变部分通过，将移除信号中的直流分量（DC部分）。AC耦合可有效地阻隔掉信号中的DC部分，使信号的平均值为0。如图21所示的是同一个位置，同时用两个应变片分别采用DC耦合（红色）和AC耦合（绿色）时，得到的测量结果。

图21 AC与DC耦合的应变测量结果

因此，从图21可以看出，AC耦合会进行高通滤波。实际上，AC耦合滤波器是一个高通模拟滤波器（在ADC之前进行滤波），常见的高通滤波截止频率有0.05Hz、0.5Hz和7Hz。所有类型的ICP/IEPE型传感器或不关心直流偏置时，都应使用AC耦合方式。

图22给出了AC耦合滤波器的滤波特征（高通截止频率0.5Hz）。滤波器的高通截止频率是在信号幅值的0.707倍处，也就是-3dB幅值处。当然这个截止频率是耦合电路的函数，依赖于你使用的电子元器件。因此，AC耦合会移除信号中的直流分量，但同时也会衰减额外的低频段，如图中的0~0.5Hz。

图22 AC耦合滤波器特性（高通0.5Hz）

倍频程滤波器

在声学领域中，通过设置一组平行带通滤波器来分析信号的频率成分是非常常见的，这些平行带通滤波器的时域输出信号可进行多种分析，如实时倍频程谱分析（图23）。滤波器的带宽通常为1个倍频程（1/1倍频程）或有时为三分之一个倍频程（1/3倍频程），中心频率和滤波器特性在欧标IEC 61260（1995）、美标ANSI S1.11（2004）和国标GBT 3241(2010)中均进行了标准化定义。这些标准是兼容的，因此，中心频率和滤波器形状是相同的。关于1/n（n=1,3,6,12,24）倍频程的定义及相关介绍可参考之前的文章“什么是倍频程”。

图23 倍频程滤波器工作过程示意

倍频程滤波器是频带滤波器，随着中心频率的增加，其倍频程带宽越宽，因此，通常倍频程滤波器采用恒定相对带宽方式，这样带宽正比例于中心频率。对于实时倍频程滤波而言，还有一个重要的参数是时间常数。时间常数描述的是当输入信号变化时，输出信号能变化多快。当测量的信号是非稳态信号时，带通滤波的信号的有效值将随时间变化。对于带通滤波器而言，时间常数通常近似是频带的倒数。对于恒定相对带宽的倍频程或1/3倍频程滤波器而言，不同频带具有不同的时间常数，越低频，时间常数越长。

这些倍频程滤波器的增益被允许在确定的范围内变化，并且根据标准中定义的级别（1级，2级）不同，滤波器的增益边界范围不同，如图24所示是中心频率为1000Hz的1/3倍频程带通滤波器的实例。你可以自己定义与上述标准一致的数字滤波器。但是，必须对滤波器形状进行检查，因为中心频率与采样频率的比值达到一定时，将不满足标准规定的边界限制条件。

图24 中心频率为1000Hz的1/3倍频程滤波器实例

频率计权滤波器

许多振动噪声应用包括某种形式的频率加权，如IEC 61672-1（2005）中规定的声学计权，以考虑人耳的频率依赖性，或用于人体舒适性分析的各种频率计权，以考虑振动的感知，如ISO 8041（2005）、ISO 2631-1:（1997）和ISO 2631-5:（2004）中规定的计权。这样的计权通常应用于频域。然而，在某些情况下，也应用时域。

在这，我们仅为声学C计权滤波器为例来说明频率计权滤波器。C计权滤波器的滤波特性由标准IEC 61672-1（2005）定义。C计权滤波器在拉普拉斯平面上由位于20.6Hz和12200Hz的两个极点来定义，即s=−2π·20.6和s=−2π·12200，因为s的单位是rad/s。因此，如果我们分别用𝜔₁和𝜔₂表示两个极点位置，则传递函数为