光学系统像差理论和示例

像差理论

相机镜头是非常不完美的设备。摄影师们会就镜头特性、镜头渲染以及其他许多讨论点展开激烈辩论。所有这些都源于光学系统中的不完美（像差）。

如果一个镜头在所有像差方面都得到了“完美”校正，并且在整个感兴趣的光谱范围内传输均匀，那么它就是完全“透明”的，不会对图像产生任何特性影响。在“完美”校正系统中，唯一的限制是它的速度——镜头的最大可能分辨率由其光圈系数（f数）决定。f数越低，分辨率极限越高。这个极限被称为衍射极限，可以通过下面的公式根据调制传递函数（MTF）来计算。当然，正如你将在下面看到的那样，更大的光圈会产生一些像差，因此设计者的技能和设计限制将决定哪一方会获胜。

其中，λ是光的波长，单位为微米（µm）。该公式将返回MTF为0%的空间频率，单位为每毫米循环数（lp/mm）。0% MTF对应于零对比度，意味着从100%强度到0%强度的过渡（从白到黑）将被呈现为50%灰色，且无法区分两者。对于衍射极限系统，MTF随着频率线性衰减，并且对于所有系统，0lp/mm 处的 MTF 为 100%，因此可以通过简单的斜率计算来推算其他频率的值。还应该清楚的是，短波长的衍射极限更高，这就是为什么光刻镜头可以打印出细至 20nm 或更细的电路（截至2015年4月）使用190nm的极紫外光作为光源。图1展示了几种不同f数下的衍射极限与空间频率的关系图，使用的是0.5876µm的绿黄色光。

图1 – 衍射极限与光圈系数的关系图

如你所见，随着镜头速度的降低，分辨率极限也随之降低。所有MTF从衍射极限的下降都是像差的结果。

存在许多种像差，它们可以用幂级数展开来表示，这种展开被称为赛德尔多项式。在赛德尔形式中，像差主要有两个依赖项：视场，即视场中的位置/图像高度，以及镜头处的光线高度。镜头处的光线高度就是光线与光轴的截距距离。图2展示了两者之间的区别。表1展示了三阶像差及其依赖关系，其中y是光线高度，h是图像高度。佩茨瓦尔是观察场曲的一种方式。

图2 – 红色表示光线高度变化，绿色表示图像高度或视场变化

表1 – 三阶赛德尔像差的依赖关系

(*) 佩茨瓦尔相当于重新对镜头对焦，但它随视场变化而变化，而重新对焦则不会。

从这个表中可以明显看出一些关于三阶项的事实：

1. 球差在视场内不会发生变化。
2. 畸变不会受光圈缩小的影响。
3. 光圈缩小在减少像散或佩茨瓦尔像差方面效果不大。

三阶像差足以表征低发散系统。发散度是衡量光通过系统的量度。800mm f/5.6全画幅镜头的发散度非常低，而14mm f/2.8全画幅镜头的发散度非常高。

三阶像差很快就会不足以很好地描述镜头。一旦它们变得不够用，就必须认真考虑五阶项。还有七阶和九阶项，依此类推。通常这些项非常小，可以放心忽略。表2与表1等效，但涵盖五阶像差。

表2 – 五阶赛德尔像差的依赖关系

唯一显著的变化是增加了斜球差，它依赖于光线截距高度和视场。椭圆彗差是一种新的彗差类型，但从指数来看可以正确推测出它看起来像“捏紧”的彗差，只是一个更细的径向条纹。所有其他项仅仅增加了更高的幂次。显而易见，球差是唯一存在于光轴上的像差（在镜头中心）。所有其他像差都被对称性所禁止。

当远离光轴时，几种像差开始相互作用，方程变得更复杂。例如，未校正的三阶球差和未校正的三阶彗差叠加，导致镜头瞳孔右侧的模糊变大，但在瞳孔的左侧，它们大部分相互抵消，只剩下一个小的失焦。

需要注意的是，上述方程仅适用于横向平面。它们描述了垂直于光轴的聚焦误差；当重新对焦镜头并产生“焦外成像圆”时，圆会在横向平面上变大。在本文的其余部分，我们将主要关注光线像差图，也称为横向光线图、边缘光线（RIM）图或H’-tan(U’)曲线。

图3到图6是各种单独像差的光线像差图。图7到图9是几种像差以相等数量组合的光线像差图。

对这些图的一些解释是必不可少的。水平轴和垂直轴的交点是通过镜头出瞳中心到图像平面的光线。如果它错过了，则存在瞳孔像差，但这是另一个话题。右侧和左侧分别是通过瞳孔上侧和下侧的光线。符号约定是一致的，光线“向上”错过为正号，光线“向下”错过为负号，因此预计球差会产生圆形模糊，光线会向相反方向错过（因此，画出一个圆）。轴向色差发生在不同波长在图的原点相交（即形成一个X）但有不同的斜率，而横向色差发生在它们不在原点相交时。

图3 – 纯三阶球差

图4 – 纯三阶彗差

图5 – 纯三阶像散

图6 – 纯三阶佩茨瓦尔像差

图7 – 球差 + 彗差

图8 – 球差 + 像散

图9 – 球差 + 佩茨瓦尔 – 注意与像散在径向平面上的区别

像差平衡是镜头设计中的关键校正方法之一。通常很难将三阶、五阶和更高阶像差校正到足够高的水平以满足设计标准，因此它们相互对抗。例如，五阶球差难以校正到令人满意的水平，所以使用过校正的三阶球差来平衡它。通过这种方式，点大小减少，从而提高了MTF（分辨率），尽管镜头仍有复杂的残余像差平衡。

可以通过重新对焦镜头来移动参考平面，结果是图的横坐标旋转，并且可能提高镜头性能，特别是当球差占主导时。

像差示例

理论介绍完毕，现在是时候讨论一个镜头了。图10是一个真实镜头的例子，50mm f/1.4设计。其专利可在《现代镜头设计》第335页找到。

图10 – 全画幅双高斯镜头的50mm f/1.4 RIM图

这张图看起来很乱，但对于一个快速50mm镜头来说，这并不算特别罕见。我将逐一解析所有视场位置的图像：

轴上(0.000°)

• 三阶球差（中等，负值）
• 五阶球差（中等，正值）
• 球色差（中等）

7/10视场(16.55°)

• 三阶球差
• 五阶球差
• 球色差（小）
• Petzval（中等）
• 彗差（小）
• 像散（小）
• 纵向斜球差（非常大）

全视场(23.00°)

• 三阶球差（中等，负值）
• 五阶球差（中等，正值）
• 球色差（小）
• Petzval（中等）
• 彗差（中等）
• 像散（中等）
• 纵向斜球差（巨大）

在全视场下，图形的形状几乎完全由Petzval和叠加的彗差和球差所驱动。您还可以看到，在7/10和全视场位置，图像被截断了。这是看到渐晕的一个方法——很明显，全视场位置超过50%的光线被截断，或超过1挡的渐晕。可以看出，如果没有渐晕，光线的方向会非常差，校正效果也会非常糟糕。因此，渐晕是一种有价值的校正技术，只要物理约束不存在并且设计标准在周边光照方面具有灵活性。畸变在RIM图中完全消失了，除非是最大的问题，否则Petzval和像散也很难辨别。

到现在，您可能想知道这个镜头是什么样的——图11和图12展示了镜头及其视场曲线（像散、Petzval、畸变）的样子。

图11 – 50mm镜头的镜头图

图12 – 50mm f/1.4镜头的视场曲线

在镜头图中也可以看到渐晕。镜头中心的“凹口”是光圈。如果光线充满这些凹口，则没有渐晕。蓝色的全视场轨迹显然没有填满光圈，所以可以看到镜头有渐晕。从视场曲线中可以明显看出畸变得到了合理的控制，镜头的视场曲率也相当小，像散也是如此。

此时，我要指出，这个镜头的彗差很小，并不是主要像差。如今发布新镜头时，流行做法是通过拍摄星空并观察图片角落的星星样子来检查镜头是否有“彗差”。这对于镜头来说是一个相当严苛的测试，因为通常强烈裁剪的星星呈现出巨大的物体空间对比度。这个镜头的主要像差是斜球差，其影响比彗差大两倍多。图13展示了镜头的点状图。全视场的点状图可能看起来很熟悉，它是网络上著名的“翅膀”——许多评测网站错误地将其标记为“彗差”。

图13 – 50mm f/1.4镜头的点状图

“翅膀”的“肥胖”程度是焦外弥散的一个很好的衡量标准，而它们的“宽度”或长度则衡量了斜球差的多少。在点状图中，由于斜球差比彗差大得多，所以彗差几乎看不见。在全视场图的正中央，您会看到模糊趋向于“彗星”形状——这是彗差。图14是镜头的MTF，这是摄影师可能更熟悉的东西。

图14 – 50mm f/1.4镜头的MTF

这些曲线延伸到高空间频率——可能需要一种基本的分析方法。如果在传感器的（补偿后）奈奎斯特频率下MTF超过50%，则可以说镜头“超越”了传感器。奈奎斯特频率就是能够记录的最大空间频率，即

因子0.5是因为要记录一对线对或完整周期（白到黑）需要两个样本。传感器的退化调整必须在此之后进行。拜耳模式立即意味着获取单个像素的全色需要一个2×2的块数据，所以我们可以丢掉剩下的50%。此外，如果安装了光学低通滤波器（OLPF，防混叠滤波器），我们可以再减少15%。例如，对于佳能5Ds来说，我们有：

这大致相当于佳能7D mark II或尼康D7200的情况。低像素密度传感器，如索尼A7 mark II，则大约为35lp/毫米左右。需要注意的是，传感器的分辨率极限并不是随着像素数增加而线性变化的；随着像素缩小，传感器方面会有一些不可避免的损失，因此随着像素密度增加，OLPF调整值应增加。对于5Ds，我可能会使用接近30%的值，但由于边缘效果较强（对那些感兴趣的人来说，这主要是由于光在平面表面上的折射，可以通过远心镜头设计来补救），情况会更加复杂。

通过传感器分析，很明显这个镜头在全开时无法“超越”典型相机的任务。具体细节超出了本文的范围，但通过优化镜头可以提高其初始性能。大多数镜头实际上不是原始设计，而是同一公司之前设计的老镜头或经过修改和优化以适应当前需求的专利设计。在这种情况下，通过调整镜片形状和后表面的非球面化，性能很容易提升到“上一代”快速50mm镜头和当前一代（例如，Sigma 50A、Zeiss Otus、SonyZeiss 55/1.8等）之间的水平。斜球差（翅膀）仍然是一个问题，但MTF足以在典型全画幅传感器上实现锐利的中心全开。如下图15所示。图16是优化后的镜头的RIM图。图17是点状图，帮助将RIM图与镜头在多个视场位置的图像进行关联。除了MTF外，我现在使用了6个视场点。对于全球面系统，3个点就足够了，因为局部最大值会出现在√2（0.7）和极限视场点，从而显示角落性能。因此，如果任何视场点比全视场点更差，那就是7/10。对于非球面，情况变得更加复杂，需要使用更多的视场点以确保图像视场中没有特别好或坏的点。为了避免图形过于密集，MTF只使用了三个点。

图15 – 优化十分钟后的同一50mm f/1.4镜头

图16.1 – 优化后的50mm镜头在0、2/10、4/10视场的RIM图

图16.2 – 优化后的50mm镜头在6/10、8/10、10/10视场的RIM图

图17 – 优化后的50mm f/1.4镜头的点状图

在此版本中，镜头具有平坦的切向视场，但纵向视场弯曲较大。尽管相比之前的版本，这种散光现象较小，但仍是主要限制因素之一，尤其是图像中部的高彗差。这些问题通过进一步优化可以得到纠正（尽管镜头的设计会因此显著偏离当前方案）。新的镜头设计具有更大的后镜片，但仍小于任何流行相机卡口的喉径，因此渐晕仍然可以减少。由于镜片尺寸的增加和非球面表面的引入，成本是需要考虑的重要因素。不幸的是，由于RIM图的平坦性以及三阶和五阶球差的均匀贡献，随着镜头缩小光圈，性能不会迅速提升。注意点斑大小的变化——原始镜头的最大RMS点斑尺寸为260微米（接近50像素），而新镜头的最大RMS点斑尺寸为90微米，平均接近10微米，这大约是当前大多数APS-C和全画幅传感器上的2个像素（尽管这种情况可能不会持续太久），并且足以实现“锐利”图像。在镜头设计社区中，常说点斑尺寸与像素尺寸同级别是好的，这个优化后的镜头符合这一标准。

一个有用的潜在镜头分辨率指标可能是基于衍射极限的百万像素数，因此下表3展示了不同光圈值与全画幅检测器上百万像素数之间的比较。请注意，表中的几个假设使得数据不应被完全信赖。波长固定为0.5876微米，空间频率乘以检测器尺寸和一个因子2来将周期（2像素）转换为像素尺寸。这是基于MTF 50%为可区分特征的极限，锐化和去卷积可以使较低分辨率镜头看起来与此数值一样好。还假设传感器在其奈奎斯特频率下的MTF为100%，但实际情况并非如此。这仅是镜头支持的最高分辨率，而不是系统的实际分辨率。

表3 – 不同光圈值支持的最大百万像素数

为了更好地与衍射极限进行比较，我展示了高达100lp/mm的MTF，尽管镜头在很大部分空间频率范围内表现不佳。摄影镜头通常由于设计中的许多限制（如最大长度、最大直径、重量、内部对焦的必要性、图像稳定单元的包含、最小后焦距、成本等）以及高分辨率镜头的实际需求缺乏，而不是衍射极限的。特别是佳能的300mm f/2.8L II和400mm f/2.8L II或蔡司的135mm f/2 APO-Sonnar或尼康的200mm f/2G II这类校正良好的长焦镜头接近于您今天可以购买的镜头中的绝大多数。为了展示这类镜头的性能，图18展示了由LensRentals.com的Roger Cicala提供的数据。五个镜头在Lensrentals的标准程序下进行了MTF测试，并且最佳镜头的测试结果延伸到100lp/mm。MTF测量在Trioptics ImageMaster MTF Bench上完成，并分析以生成图形。

图18 – 蔡司135mm f/2 APO-Sonnar镜头的MTF

在这个135mm镜头的情况下，我们可以观察到分辨率在边缘下降，但主要是在切向图像平面。这可能表明镜头存在散光现象。散光在镜头设计中被认为是纵向和切向平面的视场曲率（Petzval）不同。这里切向平面相当平坦，而切向平面弯曲，使得边缘无法与中心对焦一致。参考制造商的MTF曲线，对于f/2，显然可能有两种情况：一种是通过将样本镜头安装在MTF测试台（如用于生成此数据的ImageMaster）或Optikos LensCheck测试台上生成曲线，结果来自中间焦点或最小散光焦平面；另一种情况是蔡司通过视场曲率补偿来生成其MTF曲线。

那么我们在哪里？如果您读到这里，您已经对镜头设计和优化有了初步了解。通过这些，您可以像设计师一样看待镜头——以RIM图和MTF曲线（尽管格式与制造商为消费者发布的曲线不同）的形式。同样，您有了理解分辨率极限和高分辨率传感器影响的基础，可以看到镜头在很长时间内可以超越传感器的分辨率。更高的分辨率需要成本、尺寸和重量的增加，但这是预料之中的。我还要指出，这个“简单”的50mm f/1.4镜头系统有大约45个优化变量——这不是一个简单的问题。幸运的是，CAD软件可以为我们进行数学计算，并帮助我们找到远超以前可能的解决方案。