光学分析之面型拟合

          我们在进行光学设计的时候经常会遇到一些工艺问题，比如当我们设计产品做出来的时候，我们怎么判断其好坏。这里就牵扯到检测相关的问题。例如对于光学镜头产品，我们会检测其光学指标，例如焦距，视场角，靶面大小，分辨率，畸变等等这些指标。而有一些产品我们还需要进一步检测相关的参数，比如涉及到非球面。

         我们知道球面镜，我们一般管控的指标有，两个面的R值，中厚，矢高，口径，透过率等这些，但是非球面镜片仅仅是这些是不够的。例如下图：

   上图是一片非球面镜片

在此之前，我先带大家了解一下什么是非球面。

一、非球面的定义及种类

大多数非球面是基于一个“二次”或者“锥面”项，基本的方程如下：

标准的基本形式为：

球面 ： (k=0)

抛物面： (k=-1)

双曲面： (k<-1)

椭圆 ： (-1<k<0)

之所以称为“锥面”项，是由于我们可以用不同方位的面与圆锥相切可以得到以上表面

可能上面的公式有点抽象，我用一个截面图来表示各种面型：

1、球面(K=0)：

2、抛物面(K=-1)：

3、双曲面(K<-1)：

 

 

4、椭圆(-1<K<0)

 

 

5、非球面的定义

基本项(二次项)+多项式

+

（球面, 椭圆, 双曲面, 抛物面)         (与基本项的偏离)

其中 c= 曲率=1/r  r=基圆半径

 

以上就是常见的几种非球面的表达式，那么为何非球面检测如此重要呢，我看下面的图：

在加工过程，球面镜和非球面的误差方向也存在差异的，一般来说

①对于非球面，误差平行于非球面轴

②对于球面，误差沿最佳拟合圆的法向

二、面型拟合

面型拟合是光学测量中常用的技术，用于将离散的波面数据拟合成连续的理想波面分布函数。我们一般来说是根据测试设备采集的点云数据，带入到设计软件中选择合适的非球面表达式来拟合对应的非球面面型。

当然这里还有一些概念需要介绍，在拟合过程中经常用到的一些指标：

PV和RMS

1、PV

     PV是英文单词Peak-to-Veally（从峰到谷）的缩写，表示元件面形误差矩阵 W（x,y）中元素的最大值（面形最高点）与最小值（面形最低点）之差，即：

其中，Wmax和Wmin 分别代表面形矩阵W（x,y） 中元素的最大值与最小值，x和 y分别为面形矩阵的行和列有效元素的序号。

2、RMS

   RMS是衡量表面形貌偏离理想平面或曲面的程度的一种统计方法。它通过对表面上所有点的偏差进行平方、平均后再开方得到。

3、方差

4、标准差

在以上式子中，W（x,y）是面形矩阵，x  和 y分别为面形矩阵的行和列有效元素的序号，

为面形矩阵中所有有效元素的平均值， N为面形矩阵中的有效元素个数。注意，某些方差的归一化因子也会使用N  ，而不是 N-1

三、面型拟合实例：

1、曲面拟合

下面我将给出一些三维坐标阵列（x,y,z）,根据这些坐标点云，拟合出一个曲面模型，这里先不介绍方程，我们先看一下拟合步骤以及拟合工具有哪些：

篇幅有限，我这里就不展示这么多了，接下来我们先用MATLAB软件进行曲面拟合：

拟合结果：

当然以上功能仅仅是为了介绍拟合效果，所以没有拟合方程式

我们看得出，一个三维的曲面图形已经完美的拟合出来了。不过由于数据点数量有限，拟合的图形并不完美，可能和实际的差别很大。所以在实际拟合过程中，尽可能提供多的数据点带入到拟合方程中，其中一些偏离的点需要剔除（后面会介绍）。

我们看一下心心念叨的拟合代码吧：

这里我放一个基础版本的，权当是抛砖引玉了，粉丝朋友们可以自行完善一下，在其中添加一些其他的功能。

2、球体拟合：

拟合代码：